O Argumento EPR – parte X

Apesar de sua importância foi pu­blicado em 1935, anteriormente à edição de quase todos os livros de texto que se utilizam para a aprendizagem da mecânica quântica, por isso, estes textos, com raras exceções, ignoram este argumento.

Sua ausência se torna ainda mais surpreendente levando-se em conta, que o argumento EPR é extremamente fácil de ser apresentado, ao ponto de se poder incluir nesta breve divulgação em sua plenitude, sem simplificações que o desvirtuem, pois é acessível a toda pessoa culta e não apresenta difi­culdade alguma para um estudante de física.

Tudo isso faz pensar que o silêncio em torno do argumento é inten­cional, que estaria motivado por uma decisão de ignorar as dificuldades de interpretação que tocam à mecâ­nica quântica. Tal intento em calar o problema não é neutro, mas favorece uma interpretação "ortodoxa" da teoria que se adotou em seus princípios, sustentada pela enorme autoridade de Bohr, Hei­senberg e outros de seus fundadores. Hoje, a maioria dos físicos, que investigam os temas fundamentais desta teoria, não aderem a esta interpretação e acham ne­cessária uma atitude mais crítica na didática da física quântica.

Em muitas publicações, o argumento EPR recebe o nome de "paradoxo" EPR. Esta denominação é in­correta e pode levar a mal-entendidos de seu signifi­cado e conteúdo. Etimologicamente, "paradoxo" signi­fica mais além, oposto ou contraditório à doutrina, ou ao convencionalmente aceito. Este não é o caso do argumento EPR. Em outro significado, a palavra implica um resultado verdadeiro ainda que de aparência absurda, ou, também, chegar a uma conclusão evidentemente falsa ou absurda por um raciocínio aparentemente correto (como no paradoxo dos gêmeos, ou a da lebre e da tartaruga). "Resolver" o paradoxo seria, então, encontrar o erro de raciocínio que se acha oculto. Este tam­pouco é o caso do argumento EPR, o qual sim, chega a uma conclusão assombrosa, mas com uma lógica perfeita e sem contradizer nenhuma doutrina, simplesmente porque não a há, por não existir ainda uma interpretação para a mecânica quântica.

Einstein foi um dos precursores da mecânica quântica com seu postulado de um estado corpuscular, o fóton, para as ondas eletromagnéticas, ou seja, a luz.

Esses "quanta" de luz permitiram aclarar o efeito fo­toelétrico, que escapava a todo intento de explicação com a física clássica. A descoberta de uma contrapar­te corpuscular à onda foi completada por L. de Bro­glie, que descobriu uma contraparte ondulatória aos corpúsculos ao postular que toda partícula apresenta uma duplicidade com a onda.

Ambos achados, mais a idéia inicial de Planck em quantificar a energia de ra­diação, foram os primeiros sinais da revolução quântica. Em seguida apareceu a equação de Schrödinger, cujas soluções correspondem às ondas, as quais M. Born lhes deu uma interpretação probabilística. Seguiu o Princípio de Incerteza e emergiram as idéias de indeterminismo e acausalidade.

Nesta etapa, Einstein e outros dos precursores se distanciaram de Bohr, Hei­senberg y Born ao não aceitar as correntes filosóficas positivistas pelas quais deslizava a teoria. Einstein es­tava convencido de que esta teoria era errônea e tentou derrubá-la atacando um de seus pilares básicos: o prin­cípio de incerteza. O debate, que foi compara­do a uma luta entre gigantes liderados por Einstein e Bohr, alcançou seu clímax no Sexto Congresso Solvay, rea­lizado no ano 1930 em Bruxelas. Numerosos físicos haviam se reunido para discutir sobre magnetismo, ainda que a física quântica, sem dúvida, iria ocupar uma parte impor­tante do debate. Einstein apresentou um argumento que tentava demonstrar que o princípio de incerteza podia ser violado em um experimento, irrealizável por motivos técnicos, mas, em princípio, possível.

Ele maneja­va com maestria estes Gedankenexperimente, "experimentos imaginários", ou mentais: elevadores em queda-livre, trens com sinais luminosos a velocidades próximas à da luz, e neste caso, uma caixa cheia de fótons. A versão do princípio de incerteza que Einstein atacou era a relação tempo-energia: a energia de um sistema quântico que foi preparado em um processo de duração ∆T, deve ser imprecisa em uma quantidade ∆E, relacionadas am­bas por: ∆E x ∆T ≥ ħ. O sistema quântico que idealizou Eins­tein consistia em um fóton que deixamos escapar de uma caixa por um obturador aberto durante um tempo ∆T, tão pequeno quanto desejarmos, e ser este acionado por um relógio de precisão infinita, que se encontra dentro da caixa. O princípio de incerteza nos proíbe uma determinação da energia do fóton com precisão ∆E arbitrariamente pequena. Contudo, Einstein propôs que esta deveria ser possível pesando com toda tranqüilidade, ou seja, com infinita preci­são, a caixa antes e depois de que o fóton escape. A diferença na massa da caixa nos daria com precisão tão grande quanto quisermos a energia do fóton, usando a relação E = mc2.

As conseqüências que este argumento pudesse ter seriam enormes porque fazia tremer a base mesma da teoria quântica. É difícil imaginar o grau de preocupação que causou em Bohr. Ele não poderia tolerar que este simples argumento, aparentemente irrefutável, destruísse de forma irremediável a mecânica quântica. Devia haver algum erro, e o encontrou. Na manhã seguinte, depois de uma noite sem dormir, Bohr apresentou uma re­futação ao argumento de Einstein utilizando nada menos que a teoria da relatividade geral do próprio Einstein.

Foi um golpe de mestre. Bohr recordou a Einstein que, segundo a relatividade geral, um intervalo de tempo, me­dido por um relógio que se deslocou em um campo gravitatório, é modificado como o indica um famoso re­sultado conhecido com o nome de "descida ao vermelho". O relógio que controla o obturador sofre este deslocamento ao mover-se a caixa de fótons. Tomando em con­ta este efeito, resulta novamente a relação ∆E x ∆T ≥ ħ, e a mecânica quântica permanece a salvo. Einstein ficou convencido, mas não satisfeito. A partir desse mo­mento, já não tentou demonstrar que a mecânica quânti­ca era inconsistente ou incorreta, mas passou a se dedicar na demonstração de que era incompleta, o que significa que a teoria não conteria todas as características do sistema quântico (de fato, existem na realidade alguns elementos que ela ainda não formalizou). A mecânica quântica se­ria uma verdade, mas não toda a verdade, e poder-se-iam aceitar as probabilidades, incertezas, indeterminismos e acausalidades como conseqüências desta falta de com­pletude da teoria.

Na física existem teorias muito úteis que não são com­pletas, por exemplo, a termodinâmica. Nela, observáveis relevantes são, entre outros, o volume, a pressão, a temperatura; mas não tem em conta observáveis tais como a posição de cada molécula de um gás. A termo­dinâmica é o resultado médio de todas as variáveis indivi­duais das moléculas ocupando-se de quantidades globais que envolvem o conjunto de moléculas. Propõe-se, então, a questão sobre se a mecânica quântica é uma teoria que surge como uma média de algumas variáveis ocultas, mas relevantes na realidade. O argumento EPR foi desenhado para responder afirmativamente esta proposição, ainda que as análises posteriores indicassem, que é mais interes­sante questionar a validade das hipóteses que levam à resposta.

Em 1935, Einstein publicou com Podolsky e Rosen um trabalho com o título "Can Quantum Mechani­cal Description of Physical Reality be Considered Com­plete?" ("Pode ser considerada completa a descrição que a mecânica quântica faz da realidade?"). Este tra­balho é uma obra-prima em sua precisão, clareza e ri­gor. Einstein não poderia permitir que nela houvesse a mais mínima falha ou imprecisão, porque sabia que Bohr poria toda sua potência intelectual na busca de um erro.

Apresento a versão do argumento EPR de um modo adequado ao conjunto destes artigos, mas conservando o es­pírito e rigor do desenvolvimento original.

No argumento EPR participam cinco ingredientes, designados pelos símbolos LC, FMQ, REA, COM, SEP, que de­finiremos com cuidado. Alguns destes ingredien­tes (FMQ, REA, COM) aparecem explicitamente no trabalho original e outros (LC, SEP) estão implícitos, e não se mencionam, pois são considerados tão óbvios e evidentes que não seria necessário apresentá-los. Contudo, devido a desenvolvimentos posteriores, hoje é importante incluí-los.

LC. No argumento EPR, como em qualquer outro, se faz um arrazoado. Quer dizer, se faz deduções do tipo: tal cosa implica tal outra, ou é falso negar algo corre­to etc. Os raciocínios são considerados corretos quando se atêm à Lógica Clássica (LC), que não é outra senão a lógica aristotélica, formulada com grande precisão. De­signamos então com LC, ao conjunto de regras de infe­rência que regem o raciocínio correto. Menciona-se LC como um ingrediente, pois veremos que é sumamente interessante considerar a possibilidade de que esta hipótese seja falsa.

FMQ. Com este símbolo vamos designar a hipótese segundo a qual o Formalismo da Mecânica Quântica (FMQ) permite fazer predições corretas (que se comprovam experimentalmente) sobre o comportamento dos sistemas quânticos. Em poucas palavras, que a mecâ­nica quântica é correta. Temos mencionado o enorme êxito que vem tendo seu formalismo, não só pela precisão numérica com que tem sido confirmada, mas também pela diversidade de sistemas físicos em que foi aplicada. Creio que não existam físicos sé­rios que questionem a validade desta hipótese (notar que se está falando de formalismo, não de alguma in­terpretação) .

REA. Estas siglas passarão a denotar certa postura filo­sófica realista, que, se bem é compatível com o realismo apresentado em um artigo anterior, também pode ser aceita por um positivista moderado. Foi uma estratégia de grande inteligência adotar esta versão debilitada ou sua­vizada do realismo, porque sua negação leva, obrigato­riamente, a quem se oponha a ela, a adotar uma postu­ra positivista extrema, com as conseqüências, discutidas anteriormente, que isso implica. EPR reconhecem que não se pode determinar os elementos da realidade física sem acudir a uma observação, portanto não requerem uma adoção do realismo como o postulado apresenta­do anteriormente, mas que se conformam com um crité­rio suficiente para afirmar a existência de algum elemen­to da realidade física.

Eles dizem: "Caso se possa predizer com exatidão o valor de um observável sem modificar de nenhuma maneira o sistema, então existe um elemento de realidade física no sistema associado a dito obser­vável." Notemos primeiro que este é um critério suficien­te, ou seja, que não pretende abarcar todos os elementos da realidade. Só requer que, se se pode assinalar um va­lor exato a algo, sem modificar o sistema, então deve existir, para esse "algo", uma realidade. O contrário é bas­tante incompreensível: que se possa calcular algo pre­cisamente, e que não haja nada na realidade associado ao que se calcula. Notemos, além disso, que se se postula a existência da realidade objetiva (realismo forte), este critério de existência de um elemento da realidade físi­ca é perfeitamente aceitável, mas também o é sem necessidade de dito postulado e pode ser adotado por um positivista como um critério razoável.

COM. Qualquer que seja o significado preciso de comple­tude é necessário que uma teoria considerada completa possa calcular valores precisos para todos os elementos da realidade física do sistema. Se existe um elemento da realidade física que a teoria não abarca, então, esta é incompleta. Designamos como COM a afirmação de que o formalismo da mecânica quântica é completo.

SEP. Suponhamos um sistema físico S formado por dois subsistemas S1 e S2, por exemplo, um átomo que, por um processo de fissão, se parte em dois átomos que se se­pararão especialmente, ou, o de duas partículas que se distanciam depois de se chocar. Ambos são sistemas compostos por dois subsistemas que estarão posicionados a certa distân­cia D(S1, S2). Dizemos que dito sistema é separável se, para um valor suficientemente grande de D(S1, S2), qual­quer modificação ou medição que se faça em um de seus subsistemas, S1, por exemplo, deixa inalterados os ele­mentos da realidade física do outro subsistema, S2. Em outras palavras, se as partes estão suficientemente distantes, qualquer coisa que façamos em uma delas não pode modificar a outra em um sistema separável.

Consideran­do que a distância entre os subsistemas pode ser qual­quer uma, um metro, mil, ou milhões de anos-luz, a validade desta hipótese é aparentemente indiscutível, motivo pelo qual, EPR nem se preocuparam em postulá-Ia explicita­mente, ainda que apareça, de forma implícita, como parte necessária do argumento.

Todos os ingredientes apresentados, que são a tota­lidade dos elementos que participam no argumento EPR, parecem ser de validade aceitável. Para cada um deles, tomados individualmente, se pode encontrar, ao menos um físico que defenda sua validade. Se consideramos, ademais, que os físicos são gente séria, coerente, que compartilham uma linguagem e critérios científicos comuns, chegamos à conclusão de que todos os in­gredientes, tomados em conjunto, são válidos. O maravilhoso argumento EPR demonstra a falsidade desta última afirmação, ou seja, que ao menos um dos ingre­dientes é falso. É contraditório afirmar a validade de todos juntos. Em honra à precisão do argumento, apresentamos este resultado formalmente, utilizando sím­bolos lógicos. O símbolo ├ significa "é verdade que", ou "se demonstra que". O símbolo ¬ é a negação, vale dizer, que posto antes de uma proposição ou hipóte­se se lê "é falso que". Finalmente, o símbolo ν é a conjunção "ou". Em linguagem formal, o argumento EPR diz:

├ ¬ LC ν ¬ FMQ v ¬ REA ν ¬ COM ν ¬ SEP

Em palavras: se demonstra que é falsa a lógica clássica, ou é falso o formalismo da mecânica quântica, ou é fal­so o realismo débil que permite definir os elementos da realidade física, ou a mecânica quântica não é completa, ou os sistemas físicos não são sempre separáveis. Assim apresentada, a forma do argumento EPR é neutra, sem que se favoreça nenhuma das alternativas que surgem do mesmo: ao menos uma das proposições LC, FMQ, REA, COM, SEP é falsa. Já mencionamos que EPR desenharam o argumento tendendo a demonstrar ¬ COM. Ou seja, que a fórmula lógica que demonstraram é equivalente à an­terior e se pode escrever:

(LC Λ FMQ Λ REA Λ SEP) → ¬ COM

Onde o símbolo → significa "implica" e Λ significa "e".

Em palavras: EPR demonstram que, se são válidos a lógica clássica e o formalismo da mecânica quântica, e se se aceita o realismo e a separabilidade de todos os sis­temas, então a mecânica quântica não é completa. (É fácil demonstrar, com lógica formal ou com sentido co­mum, que ambas formulações são equivalentes, ainda­ que a demonstração possa complicar-se se se nega LC.)

Demonstremos agora este importante teorema. Para fazê-lo utilizaremos o sistema físico, formado por duas partículas (1 e 2) que se movem em uma dimensão e que podem provir da degradação de outra partícula ini­cial ou tido alguma interação no passado, pouco importa.

Este é um sistema composto por dois subsistemas que constituem cada uma das partículas. Alguns observáveis estarão associados aos subsistemas, por exemplo, a posição e impulso de cada partícula (X1 X2 P1 P2), e outros ao sistema composto, tal como a distância relativa entre as partículas (D = X2 – X1) e o impulso total de ambas (P = P1 + P2). O estado do sistema, segundo o visto em artigos anteriores, estará fixado por propriedades associadas a alguns observáveis. Devido a que o FMQ indica que é possível eleger D e P conjuntamente para fixar o estado, supomos o mesmo determinado pelas propriedades D = d, P = p. Isto é, a distância relativa entre as partículas é o valor d e o impulso total das mesmas, o valor p. Ambos valores podem ser considerados conhecidos com exatidão no sistema. Estamos já em condições de de­monstrar ¬ COM supondo a validade de todos os outros ingredientes. Faremos em quatro etapas:

1) É possível fazer uma observação experimental da posição da partícula 1, ou seja, medir X1. Do resulta­do da medição posso predizer com exatidão o valor de X2 = d + X1. Ademais, se vale SEP, dita predição exa­ta pode fazer-se sem modificar em nada o subsistema da partícula 2. Em conseqüência, REA indica que existe um Elemento da Realidade Física associado à posição da partícula 2 que designamos por ERF (X2).

2) De forma similar é possível fazer uma observação experimental do impulso da partícula 1, ou seja, medir P1. Do resultado da medição posso predizer com exatidão o valor de P2 = p – P1. Ademais, se vale SEP, dita predição exata pode fazer-se sem modificar em nada o subsistema da partícula 2. Em conseqüência, REA in­dica que existe um Elemento da Realidade Física associado ao impulso da partícula 2 que designamos por ERF (P2).

3) Está claro que FMQ, em particular o princípio de in­certeza, não nos permite medir com exatidão, simul­taneamente, X1 e P1, fato que aparece por termos dois aparatos para medir uma ou outra destas quantidades. Devemos optar por uma delas. Contudo, se vale SEP, dita opção não pode modificar em nada a partícula 2, que está distanciada tanto quanto seja necessário. O subsistema 2, com seus Elementos de Realidade Física, não tem por que inteirar-se de qual das duas quanti­dades temos eleito medir. Em conseqüência, SEP impli­ca que simultaneamente X2 e P2 são Elementos da Rea­lidade Física do subsistema 2. Isto é, ERF (X2, P2).

4) O FMQ não permite assinalar simultaneamente um va­lor a ambos observáveis X2 e P2, já que o princípio de in­certeza o proíbe. Mas temos visto em (3) que para estas quantidades existem Elementos da Realidade Física associados. Em conseqüência, o FMQ não pode ser comple­to por não cumprir com a condição necessária de poder calcular um valor preciso para todos os Elementos da Realidade Física. Isto é, ERF (¬ COM).

O trabalho publicado por EPR estava destinado a ser li­do por físicos (provavelmente o escreveram pen­sando em Bohr como leitor), motivo pelo qual se utiliza um jargão e uma terminologia específicos inacessíveis para os leitores daquele trabalho. A versão que apresentamos aqui é, contudo, uma tradução fiel à linguagem apro­priada para divulgação no que diz respeito ao espírito do trabalho original. Estamos frente ao argumento que maior impor­tância teve na busca de uma interpretação da mecânica quântica. Da negação de cada um dos ingredientes apresentados surgem importantes linhas de investigação tendentes a estabelecer uma interpretação da teoria.